1 数学知识

1.1 坐标系

分为左手坐标系和右手坐标系两种，主要区别在于z轴的指向，z轴指向屏幕内的是左手坐标系，z轴指向屏幕外的右手坐标系。Unity和Direct3D使用的是左手坐标系，OpenGL使用的右手坐标系。

法线和切线

与椭圆有且仅有一个交点的直线，叫做椭圆的切线。二者公共点，叫做切点。

经过切点且与切线垂直的直线，叫做该椭圆的法线。

1.2 三角学

• 整个圆周为360度（$2\pi$弧度），因此180度等于$\pi$弧度，约57.296度等于1弧度。三角函数sin和cos的参数以弧度为单位，而不是度。
• 三角形的三个内角之和为180度（$\pi$弧度）。
• 正弦 $sin(x)$ = 对边/斜边 = y/r。定义域为 0 <= x <= $2\pi$，值域为-1到1。
• 余弦 $cos(x)$ = 邻边/斜边 = x/r。定义域为 0 <= x <= $2\pi$，值域为-1到1。
• 正切 $tan(x)$ = 对边/邻边 = y/x = 斜率 = M。定义域为 -$\pi$ <= x <= $2\pi$，值域为负无穷大到正无穷大。

1.3 向量

向量表示的是一条从一个点到另一个点的有向线段。向量是所有3D引擎算法的基础。

向量长度

是从原点到向量表示的终点的距离，具体来说是各个分量平方和的平方根。公式如下

|u| = sqrt($u_x^2$ + $u_y^2$ + $u_z^2$)

归一化

归一化（normalize）就是使向量长度为1，同时方向保持不变。计算公式为向量除以其长度，如下

$u' = u / |u|$

顶点和向量的区别

顶点和向量都用一个三元组(x, y, z)表示。但顶点表示的是空间中的位置信息，在变换时可以被扩展为齐次坐标(x, y, z, w)，这时w通常为1。而向量表示的是一个方向，即从原点到(x, y, z)的方向，没有位置属性，它的齐次坐标(x, y, z, w)中，w为0。

向量加法

向量加法是指两个向量的分量相加。几何学表示为以两个向量的边为平行四边形的长边对角线。在游戏中常用于寻找目标的逻辑，例如，玩家坐标是V0($x_0$, $y_0$, $z_0$)，怪物坐标是V1($x_1$, $y_1$, $z_1$)，为了让玩家自动向怪物移动，首先要确定移动方向，表示为dir=(V0-V1).Normalized，因为方向没有大小，故进行单位化操作。接下来让玩家根据时间移动到怪物位置，表示为V=V0+dir*time。这样就利用两个向量的加法实现了位置移动。

向量减法

向量减法和加法相反，是指两个向量的各个分量相减，几何学表示为以两个向量的边为平行四边形的短边对角线。主要应用在方向的计算，以及判断两个物体间的距离。

向量点积

点积将各个分量分别相乘后相加，得到一个标量，而不是保持向量形式。定义如下

$u \cdot v$ = $u_x$ * $v_x$ + $u_y$*$v_y$

点积还有一种表达式：

$u \cdot v$ = |u| * |v| * $cos(\theta)$

即u和v的点积等于向量u的长度乘上向量v的长度，再乘以它们之间夹角的余弦。上述两个表达式结合在一起，提供了一种计算两个向量之间夹角的方法，进而可推导出一些规律。

• 如果向量u和v之间的夹角为90度，则$u \cdot v = 0$。
• 如果向量u和v之间的夹角小于90度（锐角），则$u \cdot v > 0$。
• 如果向量u和v之间的夹角大于90度（钝角），则$u \cdot v < 0$。
• 如果向量u和v相等，则$u \cdot v = |u|^2 = |v|^2$。

在计算机图形学和游戏编程中，点积的重要用途之一是计算向量在给定方向上的分量（投影）。计算u在v上投影的公式如下

$Proj_v u = \displaystyle \frac{(u \cdot v) * v}{|v| * |v|} $

向量叉积

假设向量u=, v=，则叉积定义为

$u \ast v$ = vz - vyuz, -uxvz + vxuz, uxvy - vxuy>

在三维几何中，向量叉积的结果是法线向量，该向量垂直于向量u和v构成的平面。

叉积有多种应用。

1. 判断两向量相互之间的顺逆时针关系

• 若$u \ast v>0$，则u在v的顺时针方向；
• 若$u \ast v<0$，则u在v的逆时针方向；
• 若$u \ast v=0$，则u与v共线，但可能同向也可能反向；

2. 判断是凸多边形还是凹多边形。以两条边作为向量进行叉乘

• 如果全部大于或等于零，则是凸多边形；
• 如果全部小于零，则是凹多边形；
• 如果全为零，则是所有边共线；

3. 判断点是在线的上方还是下方
4. 判断点是否在矩形内部

1.4 矩阵

单位矩阵

单位矩阵的定义是：主对角线上所有元素都为1，其他元素为0。例如

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

单位矩阵必须是方形的，即维数为m*m，其中m>=1。

零矩阵

是一个m*n矩阵，所有元素都为0。

矩阵加法和减法

唯一规则是：两个矩阵必须有相同的维数。

矩阵乘法

要将两个矩阵相乘，它们的内维数必须相等。例如A为m*n矩阵，则B必须为n*r矩阵，其中m和r可以相等，也可以不相等。

矩阵乘法不满足交换律，即(AB) $\neq$ (BA)。

逆矩阵

如果矩阵$A*A^{-1}=I$，其中$I$是单位矩阵，则称矩阵$A$可逆，且$A^{-1}$为矩阵$A$的逆矩阵。

单位矩阵的逆矩阵是它自身。

平移矩阵

$M_t=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ dx & dy & dz & 1 \end{matrix} \right]$

缩放矩阵

$M_s=\left[ \begin{matrix} sx & 0 & 0 & 0 \ 0 & sy & 0 & 0 \ 0 & 0 & sz & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

旋转矩阵

绕z轴旋转

$M_z=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta & 0 & 0 \ -sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

绕x轴旋转

$M_x=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & cos\theta & sin\theta & 0 \ 0 & -sin\theta & cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

绕y轴旋转

$M_y=\left[ \begin{matrix} cos\theta & 0 & -sin\theta & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

2 固定流水线

简单来说，固定流水线就是将3D图形转换成屏幕上的2D图像显示的过程。

标准化设备坐标，是指x，y，z的值都在(-1, 1)的范围内。

2.1 局部坐标到世界坐标的变换

不同的3D模型需要放到同一个世界坐标系展示，这个过程就称为局部坐标到世界坐标的变换，也就是将每个物体的中心平移到世界空间中所需的位置。算法很简单，把模型的所有顶点乘以平移矩阵，结果即是世界坐标。

2.2 世界坐标到相机坐标的变换

3D游戏总是围绕着3D相机进行，要观察某个物体，就需要将物体放到相机视口里。不管是将相机靠近物体，还是将物体移动到相机里，都需要把物体从世界坐标系变换到以相机为原点的相机坐标系，这个过程称为世界坐标到相机坐标的变换。

主要包含旋转和平移两个步骤。

2.3 物体剔除和裁剪

在世界坐标到相机坐标的变换中，还要把不在视角内的物体剔除掉（从性能效率上考虑也必须这样做），以免错误地渲染它们，或者说避免进行相机变换。

首先剔除物体，然后对余下的可见物体，剔除其背面。

2.3.1 背面消除

即背对相机的物体背面不参与绘制，直接裁剪掉，以排除尽可能多的多边形。

2.3.2 包围球测试

创建一个将物体包围起来的球体，判断该球体是否在相机内，如果整个不在，则直接丢弃。如果部分在，则后续做进一步的测试。

2.4 相机坐标到透视坐标的变换

每个相机对应着一个视景体，视景体分为三部分：视平面、近裁剪面、远裁剪面，只有位于近裁剪面和远裁剪面之间的物体才是可见的，3D物体投射到视平面上，这个过程称为相机坐标到透视坐标的变换。

2.5 透视坐标到屏幕坐标的变换

视平面上的物体最终都要展现在屏幕上，不管是PC端还是移动端，实际屏幕坐标和虚拟的视平面坐标都是不一样的，所以需要执行平移、缩放、反转等操作，这个过程称为透视坐标到屏幕坐标的变换。

2.6 光栅化

光栅化就是对物体上色，最终以可见图像的方式在屏幕上显示出来。

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